Золотая педагогика

Организация обучения математике

Страница 5

Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Не пентаграмма ль этому виной?

Фауст: Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?

Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей,— и я свободно мог вскочить.

Более поздняя философская школа — Александрийская, интересна тем, что дала миру знаменитого ученого Евклида (IV до н.э.). К сожалению, жизнь его мало известна. В одном из своих сочинений математик Папп, современник Евклида, изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм. Насколько серьезно и строго он относился к изучению математики, можно судить по следующему известному рассказу: царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид на это ответил: «В геометрии нет царского пути».

Славу Евклиду принесло его научное сочинение из 13 книг под общим названием «Начала», в котором впервые было представлено стройное аксиоматическое построение геометрии, т. е. сначала вводились основные неопределяемые понятия и постулировались их свойства (аксиомы), а все остальные утверждения (теоремы, следствия) выводились путем логических рассуждений из аксиом и ранее доказанных утверждений. На протяжении более двух тысячелетий «Начала» Евклида остаются основой изучения систематического курса геометрии.

В последние столетия возникли и развивались новые направления геометрических исследований: аналитическая геометрия, геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология и др. Появились новые методы, в том числе координатный и векторный, позволяющие переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Геометрические методы широко используются в других науках: теории относительности, квантовой механике, кристаллографии и т. д.

Таким образом, мы вплотную подошли к определению многогранника. Но прежде, чем его дать, сначала давайте поговорим о геометрическом теле.

Геометрическое тело.

Точка М называется граничной точкой данной фигуры F, если среди сколь угодно близких к ней точек (включая ее саму) есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Так, например, границей шара является сфера.

Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется внутренней точкой фигуры. Каждая внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что все достаточно близкие к ней точки пространства также принадлежат фигуре. Так, любая точка шара, не лежащая на сфере — его границе, является внутренней точкой шара.

Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить и какую-нибудь сферу. Очевидно, что шар, тетраэдр, параллелепипед — ограниченные фигуры, а прямая и плоскость — неограниченные.

Фигура называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Примерами связных фигур являются тетраэдр (см. рис. а), параллелепипед (см. рис. б), октаэдр (см. рис. 68), плоскость. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей, не является связной.

Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.

Теперь перейдем е определению многогранника. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тетраэдр и параллелепипед — примеры многогранников. На рисунке а) изображен еще один многогранник — октаэдр. Он составлен из восьми треугольников. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники, гранями параллелепипеда — параллелограммы. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники. На рисунке изображен невыпуклый многогранник, составленный из восьми многоугольников.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Еще по теме:

Полупроводниковый лазер
Полупроводниковый лазер - полупроводниковый квантовый генератор, лазер с полупроводниковым кристаллом в качестве рабочего вещества. В полупроводниковом лазере в отличие от лазеров других типов, используются излучательные квантовые переходы не между изолированными уровнями энергии атомов, молекул и ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru