как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;
какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;
как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;
в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Перечислены возможные причины расширения области определения уравнения, одна из которых - освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решении уравнений.
Выделены четыре общих метода решения уравнений:
замена уравнения h (f (x)) =h (g (x)) уравнением f (x) =g (x);
метод разложения на множители;
метод введения новых переменных;
функционально-графический метод.
Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание.
На примере иррационального уравнения показано как в три этапа осуществляется решение любого уравнения:
Первый этап - технический;
Второй этап - анализ решения;
Третий этап - проверка.
Также на примере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями.
Метод замены уравнения h (f (x)) =h (g (x)) уравнением f (x) =g (x) применятся при решении иррациональных уравнений для перехода от уравнения к уравнению
.
Метод введения новой переменной также разобран и на примере решения иррационального уравнения.
Отдельный пункт посвящен иррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованием рассматривается решение неравенств вида ,
. В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств
во втором - равносильной совокупностью систем неравенств
Система задач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 "Равносильность уравнений" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие уравнений, в том числе и иррациональных. В § 56 "Общие методы решения уравнений" помещены задания для использования четырех методов, изложенных в I части данного учебного пособия, для решения уравнений. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаются иррациональные уравнения. В § 57 "Решение неравенств с одной переменной" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие неравенств, в том числе и иррациональных.
В № 1673 нужно решить простейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 - упражнения выше среднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790, 1791 - неравенств. № 1792 - упражнение повышенной трудности для решения иррациональных неравенств.
Много заданий, в которых требуется решить "смешанное" уравнение или неравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство, в которое входят и иррациональные выражения. Среди этих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня.
В I части учебника много внимание уделено равносильности уравнений и неравенств, достаточно строго рассмотрены общие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних. II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств.
Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.
Еще по теме:
Этапы внедрения ИКТ на пути движения в информационное
общество
Глобальное внедрение компьютерных технологий во все сферы деятельности, формирование новых коммуникаций и высокоавтоматизированной информационной среды стали не только началом преобразования традиционной системы образования, но и первым шагом к формированию информационного общества. Главным факторо ...