Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 1

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа:

равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней.

Рассмотрим некоторые преобразования уравнений и выясним, к каким типам они относятся.

Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

(1)

к уравнению

. (2)

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1) (2).

В частности, .

Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).

Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

(3)

к уравнению

. (4)

Справедливо следующее утверждение: для любых функций ,, уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3) (4).

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней не возможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.

Например, если в уравнении

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение

,

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое - единственный корень .

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.

Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению

. (5)

Справедливы следующие утверждения:

если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4);

если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны.

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: это может привести к потере корней.

При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

,

затем находят все корни уравнений

и

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Еще по теме:

Гуманитарная методология в образовании: истоки, контексты, опыт
Одним из ключей к пониманию всех произошедших в последние десятилетия в сфере образования изменений является ставшее привычным признание глубинного ее кризиса. Достаточно короткий период романтических надежд на то, что изменение политической системы позволит быстро преодолеть негативные тенденции, ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru