Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 12

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Поэтому основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

(или );

(или );

(или ).

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств

или . {1}

Первое неравенство в системе {1} является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно совокупности двух систем неравенств

или . {2}

Обратимся к первой системе схемы {2}. Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы {2} соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств

или . {3}

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе {3} является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Схемы {1}-{3} - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство .

Страницы: 7 8 9 10 11 12 13 14

Еще по теме:

Общий алгоритм педагогического проектирования
Для выполнения педагогического проектирования предлагается следующий алгоритм описанный С.Я. Батышевым: Ι. Подготовительная работа: 1. Анализ объекта проектирования. Прежде всего, рекомендуется определиться с объектом педагоги­ческого проектирования, его структурой и подструктурами, их состо­я ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru