Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 2

и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).

Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения

(6)

к уравнению

. (7)

Справедливы следующие утверждения:

при любом уравнение (7) является следствием уравнения (6);

если (n - нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;

если (n - четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению

, (8)

а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

. (9)

В частности, уравнение

(10)

равносильно совокупности уравнений (9).

Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.

Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Применение формулы при является равносильным преобразованием, при - неравносильным.

Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.

Методика решения иррациональных уравнений

В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее "освобождение" от радикалов по формуле .

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение данного метода решения иррациональных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Еще по теме:

Понятие и значение анализа хозяйственной деятельности предприятия
В настоящее время анализ хозяйственной деятельности предприятия занимает важное место среди экономических наук. Его рассматривают в качестве одной из функций управления производством. Для управления производством нужно иметь представления о тенденциях и характере предстоящих изменений в экономике п ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru