Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 4

Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни области определения исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .

Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Теперь можно перейти к решению иррациональных уравнений, не относящихся к простейшим.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на .

В результате получим уравнение

, (1)

являющееся следствием исходного.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

,

которое приводится к виду

.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, - могут приобретаться или теряться решения.

Обсудим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и посмотрим, как их распознать и как можно с ними бороться.

I. Пример 6. Решить уравнение .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью "преобразования" .

Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что .

Необходимо запомнить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Еще по теме:

Тексты при обучении чтению
Степень сложности текста (под текстом понимается определенным образом организованная совокупность предложений с единой коммуникативной задачей. Основными признаками текста являются: смысловое и коммуникативное единство, структурная целостность.) и его объем зависят от коммуникативной задачи, от при ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru