Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 5

Ответ. .

Теперь посмотрим "обратное" преобразование.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Сейчас настало время задуматься о безопасности формулы

.

Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Ответ. .

II. Следующее преобразование, которое должно явиться предметом заботы для каждого, кто решает иррациональные уравнения, определяется формулой

.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа (1) из Примера 5 производят перемножение подкоренных выражений, т.е. вместо такого уравнения пишут уравнение

.

Такое "склеивание" не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения (1). Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, т.е. уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение.

Пример 8. Решить уравнение

.

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

,

равносильное уравнению

. (2)

Уравнение (2) является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

, или .

Это уравнение является следствием уравнения (2) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни , .

Первый корень удовлетворяет исходному уравнения, а второй - не удовлетворяет.

Ответ. .

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с "расклеиванием" корней, то есть использование формулы . [13]

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение . Посмотрите, оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Еще по теме:

Клубная деятельность и формирование гражданско-правой культуры личности
"Мы должны думать о душе и духовной жизни нашей. Мы должны общаться - общение очищает". Булат Окуджава В предыдущем параграфе мы показали, что характерными особенностями развития в подростковом возрасте является повышенная значимость общения со сверстниками, самостоятельная познавательная ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru