Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 7

2. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или "метод замены". Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Далее последовательно получаем:

;

;

;

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что - корень уравнения, а - посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , т.е. квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , .

Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , .

Ответ. , .

Отметим, что "бездумное" применение в Примере 11 метода "уединения радикала" и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 14. Решить уравнение

.

Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Еще по теме:

Урок обобщающего повторения
Урок рассчитан на использование учебника «Геометрия 7 - 9» Л.С. Атанасяна и др. Урок «Признаки равенства треугольников» Цель: повторить определение треугольника, виды треугольников, признаки равенства треугольников, определение и свойства равнобедренного треугольника. Домашнее задание к этому уроку ...

Категории

© 2019 Copyright www.sotbay.ru