Золотая педагогика

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Страница 8

Введем новую переменную

, .

Исходное уравнение принимает вид

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Тогда .

Ответ. .

Уравнения вида (здесь a, b, c, d - некоторые числа, m, n - натуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

и .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины a и b не являются независимыми переменными - они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через a и b

и .

Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между a и b

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 16. Решить уравнение

.

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.

Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Еще по теме:

Психологические основы развития интереса к обучению
Опираясь на психологические теории, можно сказать, что познавательный интерес выражается в возникновении удовольствия при наличии объекта интереса, открывая человеку свои ранее скрытые свойства, объект интереса вызывает эмоциональное возбуждение. Каждый человек переживает эмоциональное возбуждение, ...

Категории

© 2018 Copyright www.sotbay.ru